ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α
Περιγραφή Μαθήματος
Με αυτό τον διδακτικό προσανατολισμό και στο πλαίσιο των δυνατοτήτων που δίνονται από το υπάρχον αναλυτικό πρόγραμμα και το σχολικό βιβλίο, εξαιρέθηκαν από τη διδακτέα ύλη ενότητες που περιέχουν έννοιες γνωστές από το Γυμνάσιο (κεφάλαια 2ο και 13ο και §6.4 και §6.7), καθώς και τμήματα που δεν χρησιμοποιούνται στις επόμενες παραγράφους, ώστε να αναδειχθεί η σημασία τους (§6.5 και §6.6 και εφαρμογή της §4.5). Οι ώρες που προκύπτουν από αυτή τη μείωση της ύλης να διατεθούν για τη βαθύτερη κατανόηση της αποδεικτικής διαδικασίας και της δομής της θεωρητικής γεωμετρίας.
Στη συνέχεια της διδακτέας ύλης διατυπώνονται προτάσεις με βάση τα κεφάλαια και τις παραγράφους του βιβλίου που αφορούν τη διδακτική διαχείριση της ύλης, στην κατανομή των ωρών διδασκαλίας και τα σημεία στα οποία θεωρείται σημαντικό να δοθεί έμφαση. Επίσης, προτείνεται μία επιλογή ενδεικτικών ασκήσεων για την εμπέδωση των βασικών στοιχείων της κάθε παραγράφου. Οι προτάσεις έχουν ως αφετηρία την άποψη ότι κεντρικός στόχος της διδασκαλίας της Ευκλείδειας Γεωμετρίας πρέπει να είναι η επαφή των μαθητών με τη δομή μιας μαθηματικής θεωρίας και την αποδεικτική διαδικασία, που αποτελούν τη βάση για την ανάπτυξη της μαθηματικής σκέψης.
Η Γεωμετρία, ένα μάθημα αρκετά υποτιμημένο τα τελευταία χρόνια, βοηθάει στην άσκηση του νού και είναι το μάθημα το οποίο δύσκολα μεθοδολογικοποιείται. Απαιτείται ο μαθητής να συνθέσει έννοιες, θεωρήματα και πορίσματα για την επίλυση των ασκήσεων και αυτό προϋποθέτει ευστροφία και εμπειρία.Κάποιες από τις έννοιες που εισάγει είναι όμως απαραίτητες και για τις επόμενες δύο χρονιές.
Διδακτέα Ύλη 2010 – 2011
Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α΄ και Β΄ Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η., Βλάμου Π., Κατσούλη Γ., Μαρκάκη Σ. και Σιδέρη Π.
Κεφάλαιο 1: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΥΚΛΕΙΔΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
1.1. Το αντικείμενο της Ευκλείδειας Γεωμετρίας
1.2. Ιστορική αναδρομή στη γένεση και ανάπτυξη της Γεωμετρίας
Κεφάλαιο 3: ΤΡΙΓΩΝΑ
3.1. Είδη και στοιχεία τριγώνων
3.2. 1o Κριτήριο ισότητας τριγώνων (χωρίς την απόδειξη του θεωρήματος)
3.3. 2o Κριτήριο ισότητας τριγώνων
3.4. 3o Κριτήριο ισότητας τριγώνων
3.5. Ύπαρξη και μοναδικότητα καθέτου (χωρίς την απόδειξη του θεωρήματος)
3.6. Κριτήρια ισότητας ορθογώνιων τριγώνων (χωρίς τις αποδείξεις των θεωρημάτων I και II )
3.7. Κύκλος – Μεσοκάθετος – Διχοτόμος
3.8. Κεντρική συμμετρία
3.9. Αξονική συμμετρία
3.10. Σχέση εξωτερικής και απέναντι γωνίας (χωρίς την απόδειξη του θεωρήματος)
3.11. Ανισοτικές σχέσεις πλευρών και γωνιών
3.12. Τριγωνική ανισότητα (χωρίς την απόδειξη του θεωρήματος και την εφαρμογή 4)
3.13. Κάθετες και πλάγιες (χωρίς την απόδειξη του θεωρήματος II )
3.14. Σχετικές θέσεις ευθείας και κύκλου (χωρίς την απόδειξη του θεωρήματος)
3.15. Εφαπτόμενα τμήματα
3.16. Σχετικές θέσεις δύο κύκλων
3.17. Απλές γεωμετρικές κατασκευές
3.18. Βασικές κατασκευές τριγώνων
Κεφάλαιο 4: ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΑΣ
4.1. Εισαγωγή
4.2. Τέμνουσα δύο ευθειών – Ευκλείδειο αίτημα (χωρίς την απόδειξη της πρότασης iv)
4.3. Κατασκευή παράλληλης ευθείας
4.4. Γωνίες με πλευρές παράλληλες
4.5. Αξιοσημείωτοι κύκλοι τριγώνου (χωρίς την εφαρμογή)
4.6. Άθροισμα γωνιών τριγώνου
4.7. Γωνίες με πλευρές κάθετες
4.8. Άθροισμα γωνιών κυρτού ν-γώνου
Κεφάλαιο 5: ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ – ΤΡΑΠΕΖΙΑ
5.1. Εισαγωγή
5.2. Παραλληλόγραμμα
5.3. Ορθογώνιο
5.4. Ρόμβος
5.5. Τετράγωνο
5.6. Εφαρμογές στα τρίγωνα
5.7. Βαρύκεντρο τριγώνου
5.8. Το ορθόκεντρο τριγώνου (χωρίς την απόδειξη του θεωρήματος)
5.9. Μια ιδιότητα του ορθογώνιου τριγώνου
5.10. Τραπέζιο
5.11. Ισοσκελές τραπέζιο
5.12. Αξιοσημείωτες ευθείες και κύκλοι τριγώνου
Κεφάλαιο 6: ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΑ ΣΧΗΜΑΤΑ
6.1. Εισαγωγικά – Ορισμοί
6.2. Σχέση εγγεγραμμένης και αντίστοιχης επίκεντρης (χωρίς την περίπτωση ii στην απόδειξη του θεωρήματος)
6.3. Γωνία χορδής και εφαπτομένης (χωρίς την εφαρμογή 1, σελ. 125)
Κεφάλαιο 7: ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ
7.1. Εισαγωγή
7.2. Διαίρεση ευθύγραμμου τµήµατος σε ν ίσα µέρη
7.3. Γινόμενο ευθύγραμμου τµήµατος µε αριθμό – Λόγος ευθύγραµµων τµηµάτων
7.4. Ανάλογα ευθύγραμμα τµήµατα – Αναλογίες
7.5. Μήκος ευθύγραμμου τµήµατος
7.6. Διαίρεση τµηµάτων εσωτερικά και εξωτερικά ως προς δοσμένο λόγο
7.7. Θεώρημα του Θαλή (χωρίς την απόδειξη του θεωρήματος)
7.8. Θεωρήματα των διχοτόμων τριγώνου
Διαχείριση διδακτέας ύλης
Κεφάλαιο 1ο
(Προτείνεται να διατεθεί 1διδακτική ώρα).
Προτείνεται να γίνει αναφορά στις ελλείψεις της πρακτικής Γεωμετρίας και την ανάγκη της θεωρητικής Γεωμετρίας. Για παράδειγμα μπορεί να συζητηθεί η έλλειψη ακρίβειας στα αποτελέσματα μέσω της μέτρησης των γωνιών ενός τριγώνου από τους μαθητές ώστε να διαπιστωθεί ότι κάποιοι δεν βρίσκουν ακριβώς 180 μοίρες και η ανάγκη να απαντηθούν με βεβαιότητα ερωτήματα όπως γιατί από κάθε σημείο ευθείας άγεται μοναδική κάθετος προς την ευθεία αυτή. Να αναφερθούν οι πρωταρχικές έννοιες και τα αξιώματα – αιτήματα.
Κεφάλαιο 2ο
(Παραλείπεται).
Το κεφάλαιο αυτό παραλείπεται επειδή αποτελεί επανάληψη γνώσεων του Γυμνασίου. Αν κατά την κρίση του διδάσκοντος το επίπεδο της τάξης απαιτεί να επαναληφθούν ορισμένα σημεία αυτού του κεφαλαίου μπορεί να αφιερώσει 1-2 ώρες για αυτή την επανάληψη.
Κεφάλαιο 3ο
(Προτείνεται να διατεθούν 21 διδακτικές ώρες).
§3.1-3.4 (Προτείνεται να διατεθούν 5 διδακτικές ώρες).
Το περιεχόμενο αυτών των παραγράφων έχει αρκετές ομοιότητες με την ύλη της Γ΄ Γυμνασίου. Προτείνεται να διδαχθούν όλα τα κριτήρια μαζί και μετά τα πορίσματα που προκύπτουν από αυτά. Η απόδειξη του κριτηρίου 1 μπορεί να παραλειφθεί γιατί έχει διδαχθεί ακριβώς η ίδια στην Γ΄ Γυμνασίου. Οι αποδείξεις των κριτηρίων 2 και 3 προτείνεται να γίνουν για να κατανοήσουν οι μαθητές τη διαφορά της θεωρητικής απόδειξης από την πρακτική απόδειξη αυτών των κριτηρίων που είδαν στην Γ΄ Γυμνασίου. Επίσης η απόδειξη του 2ου κριτηρίου γίνεται με την εις άτοπον απαγωγή που είναι βασική αποδεικτική μέθοδος. Στο 1ο κριτήριο προτείνεται να τονιστεί η αναγκαιότητα της υπόθεσης να είναι οι ίσες γωνίες περιεχόμενες στις ίσες πλευρές με τη χρήση κατάλληλου αντιπαραδείγματος.
Τα πορίσματα 1 σελ. 37, 1 σελ. 40 και το 1 σελ. 45 (από επόμενες παραγράφους) είναι τα ίδια (το ύψος, η διάμεσος και η διχοτόμος που άγονται από την κορυφή ενός ισοσκελούς τριγώνου συμπίπτουν). Για αυτό μπορεί να γίνουν ως ένα πόρισμα. Το πόρισμα 2 σελ. 37 οι μαθητές θα το συναντήσουν στην παράγραφο 4.6 πόρισμα 4 σε πλήρη μορφή και άρα μπορεί να μην αναφερθεί. Το πόρισμα 3 σελ. 37 να συνδυαστεί με το πόρισμα 2 σελ. 40, το οποίο είναι ο αντίστροφος ισχυρισμός, και να διατυπωθεί με ενιαίο τρόπο ώστε να αναδειχθεί η διαδικασία απόδειξης ισοδυναμιών στη Γεωμετρία. Ομοίως για τα πορίσματα 4 σελ. 37 και 3 και 4 σελ. 41.
Για τις ασκήσεις προτείνεται να δοθεί προτεραιότητα στην 3 σελ. 38, στην ερώτηση κατανόησης 1 σελ. 43, στις ασκήσεις εμπέδωσης 2 και 3 σελ. 43 (στην 3 μπορεί να σχολιαστεί ότι το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο – κεφ. 5) και στις αποδεικτικές ασκήσεις 1 και 3 σελ. 43 (στην 3 μπορεί να αναφερθεί το σχόλιο, σελ.38).
§3.5-3.6 (Προτείνεται να διατεθούν 5 διδακτικές ώρες).
Να μη διδαχθεί το πόρισμα 1 της σελίδας 45 το οποίο θα διδαχθεί στην παράγραφο 3.4, όπως αναφέρεται παραπάνω και τα σύνθετα θέματα της σελίδας 48. Να δοθεί βάρος στις αποδεικτικές ασκήσεις.
§3.7-3.9 (Προτείνεται να διατεθεί 1 διδακτική ώρα).
Η έννοια του γεωμετρικού τόπου είναι βασική για τη θεωρητική Γεωμετρία, αλλά και για άλλους κλάδους των μαθηματικών (για παράδειγμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης Β΄ και Γ΄ Λυκείου). Μαζί με τους βασικούς γεωμετρικούς τόπους της παραγράφου, να διδαχθεί παράδειγμα της §3.7 και να συζητηθεί στην τάξη το σχόλιο της σελίδας 50, που προετοιμάζει τους μαθητές για τις γεωμετρικές κατασκευές και δείχνει το σκεπτικό εύρεσης ενός γεωμετρικού τόπου, καθώς και η ερώτηση κατανόησης 1 της σελίδας 50. Οι παράγραφοι 3.8 και 3.9 που αναφέρονται στη συμμετρία, είναι θέμα που οι μαθητές έχουν αντιμετωπίσει διεξοδικά στο Γυμνάσιο. Επίσης το συμμετρικό ενός σημείου ως προς ευθεία που χρειάζεται στη Β΄ Λυκείου έχει γίνει στην παράγραφο 2.14 (ερώτηση κατανόησης 1, σελ. 20). Αρκεί μια σύντομη υπενθύμιση των βασικών σημείων της θεωρίας και αν υπάρξει χρόνος επίλυση της άσκησης 5 που συνδέεται με τους γεωμετρικούς τόπους.
§3.10-3.12 (Προτείνεται να διατεθούν 3 διδακτικές ώρες).
Οι ανισοτικές σχέσεις είναι ένα κεφάλαιο που οι μαθητές δεν έχουν συναντήσει υπό αυτή τη μορφή στο Γυμνάσιο. Το θεώρημα της 3.10 (με απόδειξη εκτός ύλης) χρειάζεται για την απόδειξη του θεωρήματος της 4.2 που εξασφαλίζει την ύπαρξη παραλλήλων ευθειών. Με την απόδειξη του θεωρήματος της 3.11, αφενός οι μαθητές έρχονται σε επαφή με τη μοναδική εντός ύλης απόδειξη στις ανισοτικές σχέσεις και αφετέρου μέσα από το αντίστροφο, το πόρισμα 2 της 3.11 και το πόρισμα 1 της σελίδας 37 που έχουν διδαχθεί, συγκεντρώνονται οι ιδιότητες του ισοσκελούς τριγώνου. Σε αυτό το πνεύμα, προτείνεται να γίνουν οι εφαρμογές των σελίδων 55 και 56.
Προτεινόμενες ασκήσεις: οι τρείς ερωτήσεις κατανόησης και, από τις ασκήσεις εμπέδωσης, οι 2, 8 και 10.
§3.13 (Προτείνεται να διατεθεί 1 διδακτική ώρα).
Το θεώρημα Ι να συνδεθεί με τον γεωμετρικό τόπο της μεσοκαθέτου.
§3.14-3.16 (Προτείνεται να διατεθούν 4 διδακτικές ώρες).
Προτείνεται να δοθεί ως άσκηση το πόρισμα της 3.15. Επίσης να γίνει εισαγωγή στην έννοια της γεωμετρικής κατασκευής για την οποία μπορούν να αναφερθούν κάποια ιστορικά στοιχεία. Προτεινόμενες ασκήσεις: από τις ερωτήσεις κατανόησης της σελίδας 62 η 2η, από τις ασκήσεις εμπέδωσης της σελίδας 63 οι 1 και 2, και από τις ασκήσεις εμπέδωσης των σελίδων 65, 66 οι 2 και 3.
§3.17-3.18 (Προτείνεται να διατεθούν 2 διδακτικές ώρες).
Προτείνεται να γίνουν: το πρόβλημα 2 σελ. 67, 4 σελ.68, εφαρμογή σελ.68, και τα προβλήματα 2 (με το οποίο προετοιμάζονται για το 5ο αίτημα που θα ακολουθήσει) και 3 (που συνδέεται και με την τριγωνική ανισότητα) της 3.18 στο πνεύμα του Αναλυτικού Προγράμματος όπου αναφέρεται: «Θα επισημανθεί η αξία της κατασκευής με κανόνα και διαβήτη και θα αναφερθούν ιστορικά στοιχεία σχετικά με τη μέθοδο αυτή».
Δε θα διδαχθούν οι γενικές ασκήσεις του Κεφαλαίου
Κεφάλαιο 4ο
(Προτείνεται να διατεθούν 10 διδακτικές ώρες).
Με το κεφάλαιο αυτό εισάγεται το 5ο αίτημα του Ευκλείδη. Εδώ μπορεί να αξιοποιηθεί διδακτικά η Ιστορία των Μαθηματικών με τη χρήση του ιστορικού σημειώματος στο τέλος του κεφαλαίου στο βιβλίο του μαθητή και τα ιστορικά στοιχεία που παρατίθενται στην αρχή του βιβλίου του καθηγητή (προτάσεις ισοδύναμες με το 5ο αίτημα, αναφορά σε κάποιες προσπάθειες απόδειξής του, αναφορά στη δημιουργία μη Ευκλείδειων Γεωμετριών).
§4.1-4.4 (Προτείνεται να διατεθούν 4 διδακτικές ώρες).
Το τελευταίο πόρισμα της σελ. 78 έχει γίνει στην §3.18. Η §4.4 μπορεί να γίνει ως εφαρμογή.
§4.5 (Προτείνεται να διατεθούν 3 διδακτικές ώρες).
Να μη γίνει η εφαρμογή της §4.5. Προτείνεται να διατεθούν 2 διδακτικές ώρες από τις 3 προτεινόμενες, ώστε να γίνουν οι ερωτήσεις κατανόησης και όποιες από τις ασκήσεις (εμπέδωσης ή αποδεικτικές) κρίνει ο διδάσκων. Να μη γίνουν τα σύνθετα θέματα, σελ. 83.
§4.6-4.8 (Προτείνεται να διατεθούν 3 διδακτικές ώρες).
Προτείνεται να διατεθούν 2 διδακτικές ώρες από τις 3 προτεινόμενες, ώστε να γίνουν οι ερωτήσεις κατανόησης και από τις ασκήσεις εμπέδωσης οι 3-7. Να μη γίνουν τα σύνθετα θέματα 3 – 7, σελ. 88.
Να μη γίνουν οι γενικές ασκήσεις του κεφαλαίου.
Κεφάλαιο 5ο
(Προτείνεται να διατεθούν 16 διδακτικές ώρες).
§5.1-5.2 (Προτείνεται να διατεθούν 3 διδακτικές ώρες).
Προτείνεται να διατεθούν 2 ώρες για τη θεωρία και 1 επιπλέον ώρα για εφαρμογές με επιλογή από τις ερωτήσεις και ασκήσεις του βιβλίου. Να μη γίνουν τα σύνθετα θέματα 1, 4, 5, σελ. 100.
§5.3-5.5 (Προτείνεται να διατεθούν 4 διδακτικές ώρες).
Να μη γίνουν τα σύνθετα θέματα 1, 2, σελ. 104.
§5.6 (Προτείνεται να διατεθούν 2 διδακτικές ώρες).
Προτείνεται να γίνουν και οι δύο εφαρμογές της σελίδας 106 (η εφαρμογή 2 θα συνδεθεί στη συνέχεια με την παράγραφο 7.2).
§5.7-5.8 (Προτείνεται να διατεθούν 2 διδακτικές ώρες).
§5.9 (Προτείνεται να διατεθούν 2 διδακτικές ώρες).
Προτείνεται να διατεθεί η 1 διδακτική ώρα από τις 2 προτεινόμενες για εφαρμογές με επιλογή από τις ερωτήσεις και ασκήσεις του βιβλίου. Να μη γίνουν τα σύνθετα θέματα 2, 4, 6, 7, σελ. 111.
§5.10-5.12 (Προτείνεται να διατεθούν 3 διδακτικές ώρες).
Προτείνεται να διατεθεί η 1 διδακτική ώρα από τις 3 προτεινόμενες για εφαρμογές με επιλογή από τις ερωτήσεις και ασκήσεις του βιβλίου. Προτείνεται να γίνει η εφαρμογή της σελίδας 114, οι δραστηριότητες και η εργασία στο τέλος του κεφαλαίου. Να μη γίνουν τα σύνθετα θέματα 3, 4, 5, σελ. 115.
Να μη γίνουν οι γενικές ασκήσεις του κεφαλαίου.
Κεφάλαιο 6ο
(Προτείνεται να διατεθούν 3 διδακτικές ώρες).
§6.1-6.3 (Προτείνεται να διατεθούν 3 διδακτικές ώρες).
Προτείνεται να δοθεί έμφαση στις ασκήσεις εμπέδωσης 1-5. Να μη γίνουν τα σύνθετα θέματα 2, 3, σελ. 130.
Να μη γίνουν οι γενικές ασκήσεις του κεφαλαίου.
Κεφάλαιο 7ο
(Προτείνεται να διατεθούν 10 διδακτικές ώρες).
§7.1-7.6 (Προτείνεται να διατεθούν 5 διδακτικές ώρες).
Στις παραγράφους αυτές γίνεται πρώτη φορά λόγος για σύμμετρα και ασύμμετρα ευθύγραμμα τμήματα. Η έννοια της ασυμμετρίας μπορεί να βοηθήσει σημαντικά τους μαθητές να ξεκαθαρίσουν την έννοια του αρρήτου αριθμού. Η ανάπτυξη της ύλης στο σχολικό βιβλίο (θεωρία, παρατηρήσεις, σημειώσεις) είναι πλήρης και αν διδαχθεί προσεκτικά θα βοηθήσει τους μαθητές σε σημαντικές περιοχές της Γεωμετρίας που ακολουθεί (Θεώρημα Θαλή, όμοια τρίγωνα) και της Άλγεβρας (η έννοια του πραγματικού αριθμού). Προτείνεται να δοθεί έμφαση στις ερωτήσεις κατανόησης. Επίσης, οι τύποι της παραγράφου 7.6 να μην απομνημονευθούν.
§7.7 (Προτείνεται να διατεθούν 4 διδακτικές ώρες).
Προτείνεται να γίνουν τα δύο προβλήματα της σελίδας 154 και να δοθεί έμφαση στις ερωτήσεις κατανόησης 1-3 και στις ασκήσεις εμπέδωσης 3-7. Να μη γίνουν τα σύνθετα θέματα, σελ. 157.
§7.8 (Προτείνεται να διατεθεί 1 διδακτική ώρα).
Να μη γίνουν τα σύνθετα θέματα, σελ. 163.
Να μη γίνουν οι γενικές ασκήσεις του κεφαλαίου.
